رتبة الزمـــــــــر

المصطلح "رتبة" يستخدم للزمرة, ويستخدم لعناصر الزمرة.



تعريف


لتكن G زمرة بمحايد e. رتبة الزمرة G هي عدد عناصرها وتكتب . إذا كان نقول أن G زمرة منتهية, فيما عدا ذلك نقول أنها لا نهائية. رتبة العنصر هي أصغر عدد صحيح موجب n بحيث وتكتب أو وإذا لم يوجد هكذا n فنقول أن رتبة a لانهائية.







خلال هذا النقاش e ترمز للمحايد في الزمرة ما لم يذكر خلاف ذلك.







* واضح أن .



* إذا كانت + هي العملية الثنائية للزمرة G فعادة ما نستخدم بدلا من .



* من الخطأ الحكم بان m هي رتبة عنصر a لمجرد أن وذلك لأنه إذا كانت فإن لأي مضاعف m للعدد k

* إذا كان فإن العناصر كلها مختلفة وتكون زمرة وهي الزمرة المولدة بالعنصر a,









أمثلة


* في الزمرة الجمعية لدينا . كذلك لأن .







* إذا كان حيث p عدد أولي فإن أي عنصر a غير المحايد في الزمرة الضربية أو الزمرة فإن .







* في الزمرة حيث مجموعة المجموعات الجزئية لمجموعة X مع عملية الفرق التناظري















رتبة أي عنصر A تساوي اثنين, حيث











* في زمرة الأعداد الحقيقية تحت عملية الجمع فإن العدد 1 على سبيل المثال رتبته لانهائية لأنه لا يوجد صحيح موجب k بحيث . بشكل عام كل عدد حقيقي كل عنصر عدا الصفر







خصائص الرتبة في الزمرة






مبرهنة1: إذا كان عنصر في الزمرة G بحيث منتهية و صحيحة موجبة فإن



1) إذا وإذا فقط .



2) إذا وإذا فقط .



3) حيث هو القاسم المشترك الأكبر للعددين m,n.



4) إذا كان بحيث فإن







البرهان: للفقرة 1). ليكن r باقي قسمة m على n عندئذ وبالتالي















إذ ا











إثبات الفقرة 2): بدون فقد للعمومية افرض أن . إذا ومن الفرقة 1) لدينا















إثبات الفقرة3): افرض أن . بما أن















فإن وذلك بتطبيق فقرة 1) على . في المقابل















وبالتالي فإن وذلك بتطبيق فقرة 1) على a. إذا . إذا .







إثبات الفقرة 4): حالة خاصة من فقرة 3).







حقيقة2: إذا كان



عنصرين من الزمرة G متبادلين فيما بينهما ولهما رتب منتهية بحيث فإن .







مختصر البرهان: لأن . بما أن















فإن رتبة ab منتهية و. لتكن k رتبة ab. بما أن















فإن حسب الحقيقة أعلاه ومنه لأن . بالمثل يمكن إثبات أن . إذا وبالتالي .







حقيقة3: ليكن عنصران من زمرة G عندئذ



1) رتبة تساوي رتبة a.



2) رتبة ab تساوي رتبة ba.



3) رتبة تساوي رتبة a. (للإثبات لاحظ أن )







الرتبة في الزمرة المنتهية


بعض الحقائق في رتبة العنصر بسيطة ولذالك نذكرها دون إثبات ثم نعرض البعض الآخر مع مناقشة براهينها.







حقيقة4: في أي زمرة منتهية يوجد عنصر رتبته عدد أولي. (للإثبات افرض )







حقيقة5: إذا كانت G زمرة رتبتها عدد زوجي فإنها تملك عنصر a رتبته .



البرهان: عرف S كما يلي











إذا لكل عنصر في S نظير مختلف عنه وبالتالي يمكن عد عناصر S مثنى مثنى, كل عنصر مع نظيره. إذا عدد زوجي, قد يكون صفرا. بما أن عدد زوجي أيضا فإن العلاقة















تؤدي إلى أن عدد زوجي. هذا العدد ليس صفرا لأن تحوي العنصر المحايد. إذا يوجد على الأقل عنصر آخر a في



بحيث .







الرتبة في الزمرة الإبدالية




حقيقة6: إذا كانت G زمرة إبدالية فإن F مجموعة كل العناصر ذات الرتبة المنتهية في G تمثل زمرة جزئية من G.



حقيقة7: إذا كان عنصرين من زمرة ابدالية G ولهما رتب منتهية فإن G تملك عنصر رتبته المضاعف المشترك الأكبر للعددين m,n.







البرهان: اكتب كحاصل ضرب قوى عوامله الأولية المختلفة,













لأي فإن أو . . وبالتالي أو رتبته . ليكن هو هذا العنصر. رتب أوليه نسبيا مثنى مثنى. إذا باستخدام الإستقراء الرياضي مع حقيقة2 ينتج أن














ويكون هو العنصر المنشود.




درس مهم جداا في الرياضيات مع تحياتي الشامخ

زادك الله علما وهدى

اسعدني مرورك